【ArcGIS工具箱】133.空间关系建模——普通最小二乘法 (OLS)

2024年8月10日

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空间关系建模工具集可构建空间权重矩阵或利用回归分析建立空间关系模型，用于挖掘或量化要素间关系。

空间关系建模工具集包含地理加权回归、探索性回归、普通最小二乘法、生成网络空间权重、生成空间权重矩阵五个工具。

本次主要介绍普通最小二乘法 (OLS) 工具。

1、概念：

普通最小二乘法 (OLS) 工具用于执行全局“普通最小二乘法 (OLS)”线性回归可生成预测，也可为一个因变量针对它与一组解释变量关系建模。

普通最小二乘法 (OLS) 是一种线性回归分析方法，在所有的回归方法中，OLS 最为著名。而且，它也是所有空间回归分析的正确起点。该方法通过最小化误差的平方和来估计未知模型参数，以此建立一个线性回归方程，用于描述因变量（响应）与一个或多个自变量（预测变量）之间的关系。

图片来源：ArcMap官方文档

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使用OLS工具时，需要提供一个包含因变量和一组解释变量的数据集，OLS工具对因变量（希望预测或解释的变量）和解释变量（可能影响因变量的因素）有以下要求：

1、因变量的要求：

因变量应该是连续的数值型数据，而不是分类变量或二进制变量。

因变量的取值应该有一定的变异，即不是所有的值都相同，否则OLS无法求解。

2、解释变量的要求：

解释变量也应该是数值型数据，可以是连续的也可以是离散的。

为了避免多重共线性，解释变量之间不应该高度相关。如果解释变量之间存在高度相关性，会导致模型的估计不准确。

解释变量中不应该包含与因变量无关的变量，即变量应该是对被解释变量有影响的因素。

此外，对于OLS回归模型的整体要求还包括：

线性关系：OLS回归假设因变量和解释变量之间存在线性关系。如果实际关系是非线性的，则需要对变量进行转换或选择其他适合的回归模型。
误差项的独立性：OLS回归假设误差项是独立的，即观测值之间的误差互不相关。如果误差项之间存在相关性，则违反了这一假设，可能导致模型的估计不准确。
误差项的正态性和同方差性：虽然这些假设在某些情况下可以放宽，但理想的OLS回归模型假设误差项服从正态分布，并且具有恒定的方差（同方差性）。

总的来说，仅当数据和回归模型满足该方法固有要求的所有假定条件时，OLS 回归得出的结果才可信。

OLS 工具生成的输出包括输出要素类、可选的 PDF 报表文件、可选解释变量系数表、可选回归诊断表几部分。所有信息均可在结果窗口中访问。输出内容的解释将在工具部分展开。

图片来源：ArcMap官方文档

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OLS工具在ArcGIS中常用于空间数据的回归分析，帮助研究者理解和预测地理现象。

2、工具：

加载【行政区划】面要素。属性表中有表示各省市GDP、年末就业人口、固定资产投资、市场化指数的四个字段。

选择【系统工具箱→Spatial Statistics Tools→空间关系建模→普通最小二乘法 (OLS) 】工具，在弹出的对话框中进行设置。

唯一 ID 字段：包含输入要素类中每个要素不同值的整型字段。该字段用于将模型预测连接到各个要素。因此，每个要素的 Unique ID 值都必须唯一，而且通常应是与要素类一同保留的永久性字段。FID/OID 字段无法直接用于唯一 ID 参数。
因变量设置为GDP字段；
解释变量设置为年末就业人口、固定资产投资、市场化指数三个字段。

OLS 工具生成的输出包括以下几部分：

1、输出要素类：

生成的输出要素类属性表中会包含一个名为StdResid（标准化残差）的字段。该字段表示的是观测值的残差与残差的标准差的比值，也就是将残差标准化。

标准化残差有助于识别那些与模型预测偏离较大的观测值，也就是可能的异常值或离群点。在StdResid字段中，正值表示观测值高于模型预测值，负值则表示观测值低于模型预测值。标准化残差接近0的值表示观测值与模型预测值较为接近，而较大的正值或负值则可能表示存在异常值或模型的不适用。

通过检查StdResid字段的值，可以进一步评估模型的适用性，识别并处理可能的异常值，或者对模型进行改进以提高其预测精度。

2、可选的 PDF 报表文件：

报表文件包含摘要报表中的所有信息以及附加图表，用于可帮助对模型进行评估。

第一页提供与每个解释变量相关的信息，可使用该页中的信息来确定每个解释变量的系数是否具有统计显著性并带有预期符号 (+/-)。

系数：每个解释变量的系数既反映它与因变量之间的关系强度，也反映它与因变量之间的关系类型。
概率或稳健概率(Robust_Pr)：星号(*)表示系数具有统计学上的显著性(p < 0.01)。另外，如果Koenker(BP)统计量（在报表第二页）具有统计学上的显著性，则使用稳健概率列(Robust_Pr)来确定系数显著性。
VIF（方差膨胀因子）：用于测量解释变量中的冗余（表示有问题的多重共线性）。一般来说，与大于 7.5 的 VIF 值关联的解释变量应逐一从回归模型中移除，直到剩下的所有解释变量的 VIF 值均小于 7.5。

第二页列出了 OLS 诊断的检查结果以及说明每项检查的重要性原因的解释注意事项。

评估模型性能：多重可决系数Multiple R-Squared(R平方的倍数) 和校正可决系数Adjusted R-Squared(校正R平方) 的值都可用于测量模型的性能。值的可能范围从 0.0 到 1.0。由于“校正可决系数”的值与数据本身相关因而更能准确地衡量模型的性能，从而反映模型的复杂性（变量数），因此“校正可决系数”值通常要比“多重可决系数”值略小。如果“校正可决系数”的值为 0.50，则表示模型可解释因变量中大约 50% 的变化。
评估模型是否具有显著性：联合 F 统计量和联合卡方统计量均用于检验整个模型的统计显著性。只有在 Koenker (BP) 统计量不具有统计显著性时，“联合 F 统计量”才可信。如果 Koenker (BP) 统计量具有显著性，应参考“联合卡方统计量”来确定整个模型的显著性。这两种检验的零假设均为模型中的解释变量不起作用。对于大小为 95% 的置信度，p 值（概率）小于 0.05 表示模型具有统计显著性。
评估稳态：Koenker (BP) 统计量（Koenker 的标准化 Breusch-Pagan 统计量）是一种检验方法，用于确定模型的解释变量是否在地理空间和数据空间中都与因变量具有一致的关系。如果模型在地理空间中一致，由解释变量表示的空间进程在研究区（进程稳态）各位置处的行为也将一致。如果模型在数据空间中一致，则预测值与每个解释变量之间关系的变化不会随解释变量值的变化而变化（模型不存在异方差性）。假设要对犯罪情况进行预测，其中一个解释变量为收入。如果对收入的中位数较小的位置的预测比对收入的中位数较大的位置的预测更准确，则说明模型的异方差性就会出现问题。该检验的零假设为所检验的模型是稳态的。对于大小为 95% 的置信度，p 值（概率）小于 0.05 表示模型具有统计学上的显著异方差性和/或非稳态。如果该检验的结果具有统计显著性，则需参考稳健系数标准差和概率来评估每个解释变量的效果。具有统计显著性非稳态的回归模型通常很适合进行地理加权回归 (GWR) 分析。
评估模型偏差：Jarque-Bera 统计量用于指示残差（已观测/已知的因变量值减去预测/估计值）是否呈正态分布。该检验的零假设为残差呈正态分布，因此，如果为这些残差建立直方图，这些残差的分布将与典型钟形曲线或高斯分布相似。当该检验的 p 值（概率）较小（例如，对于大小为 95% 的置信度，其值小于 0.05）时，回归不会呈正态分布，并指示您的模型有偏差。如果残差还存在统计学上显著的空间自相关，则偏差可能是模型指定错误的结果，比如，该模型的某个关键变量缺失、尝试构建非线性关系模型、数据的某些异常值存在影响或者存在很强的异方差性。